Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel, Vierfeldertafel & Beispiel
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit geht es um eine ganz alltägliche Frage: Wie wahrscheinlich ist A, wenn ich schon weiß, dass B eingetreten ist? Und hier liegt unser Bauchgefühl erstaunlich oft komplett daneben. Das schauen wir uns an einem Beispiel an, das wirklich jeder kennen sollte.
Die Formel
P(A | B) = P(A und B) / P(B). Gelesen: „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“.
Du schränkst also die Grundmenge auf die Fälle ein, in denen B eingetreten ist, und schaust, wie oft darin auch A vorkommt.
Die Vierfeldertafel
Für solche Aufgaben ist die Vierfeldertafel dein bester Freund. Zeilen: A und nicht A. Spalten: B und nicht B. In die Felder kommen die Anzahlen oder Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen, am Rand die Summen.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit liest du dann direkt ab: Feld „A und B“ geteilt durch Spaltensumme „B“.
Beispiel: der medizinische Test
Eine Krankheit hat 1 % der Bevölkerung. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und schlägt bei Gesunden in 5 % der Fälle falsch an. Du testest positiv – wie wahrscheinlich bist du krank?
Rechnen wir mit 10.000 Personen: 100 sind krank, davon 99 positiv. 9.900 sind gesund, davon 495 falsch positiv. Positiv sind also 594 – krank davon nur 99. P(krank | positiv) = 99 / 594 ≈ 16,7 %.
Die meisten tippen auf über 90 %. Genau deshalb ist dieses Thema so wichtig.
Verwechslungsgefahr
P(A | B) ist nicht dasselbe wie P(B | A). „Positiv, wenn krank“ (99 %) ist etwas völlig anderes als „krank, wenn positiv“ (16,7 %). Umrechnen kannst du das mit dem Satz von Bayes.
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