Wahrscheinlichkeitsrechnung – die Regeln, die du wirklich brauchst
Ganz ehrlich: Die meisten Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung sind gar nicht schwer. Schwer wird es erst, wenn man nicht weiß, welche Regel gerade dran ist. Genau das klären wir hier – mit wenigen Formeln und ein paar Signalwörtern, auf die du achten musst.
Die Grundformel nach Laplace
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich – fairer Würfel, faire Münze –, gilt: P(A) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse.
Beispiel: Du willst eine gerade Zahl würfeln. Günstig sind 2, 4 und 6, möglich sind sechs Zahlen. Also P = 3/6 = 0,5. Mehr steckt da schlicht und ergreifend nicht dahinter.
Die fünf Regeln, die fast alles abdecken
Wenn du diese fünf Regeln sitzen hast, bist du für die meisten Klausuren gut aufgestellt:
- Gegenereignis: P(nicht A) = 1 − P(A).
- Additionsregel: P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B).
- Multiplikationsregel (bei unabhängigen Ereignissen): P(A und B) = P(A) · P(B).
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A | B) = P(A und B) / P(B).
- Satz von Bayes: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B).
Wann welche Formel? Achte auf die Signalwörter
„oder“ → Additionsregel. „und“ bzw. „nacheinander“ → Multiplikationsregel, im Baumdiagramm die Pfadregel. „mindestens einmal“ → fast immer über das Gegenereignis. „unter der Bedingung, dass“ oder „wenn bekannt ist, dass“ → bedingte Wahrscheinlichkeit.
Und wenn ein Versuch n-mal mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit wiederholt wird und nach der Anzahl der Treffer gefragt ist, bist du bei der Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rechenbeispiel: „mindestens einmal“
Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs bei vier Würfen? Der Klassiker. Direkt rechnen wäre mühsam – also über das Gegenereignis: keine einzige Sechs → (5/6)⁴ ≈ 0,482.
Damit ist P(mindestens eine Sechs) = 1 − 0,482 ≈ 0,518, also gut 52 %. Übrigens: Genau mit dieser Wette hat im 17. Jahrhundert ein Glücksspieler regelmäßig Geld gewonnen.
Der häufigste Fehler
Wahrscheinlichkeiten einfach addieren, obwohl sich die Ereignisse überschneiden. Wer bei „Herz oder Dame“ 13/52 + 4/52 rechnet, zählt die Herz-Dame doppelt. Richtig ist 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52.
Häufige Fragen
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